ПУТЕВОДИТЕЛЬ

«…компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль – эти факты доказывать (всего лишь!). При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютера могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии ». 

И.Ф. Шарыгин

С помощью этого блога и учитель, и ученик  смогут

• освоить основы работы с GeoGebra;
• работать с готовыми интерактивными чертежами, которые могут быть использованы  не только в качестве наглядных пособий, но и стать основой для  проведения красочных компьютерных экспериментов на уроках геометрии;
• научиться создавать собственные динамические модели геометрических понятий и теорем.

Назначение предлагаемых материалов:

• раздел "Рабочие листы" позволит  быстро ознакомиться с интерфейсом и базовыми возможностями GeoGebra. Их можно использовать для организации практикума.
• раздел "Ученику" содержит готовые для исследования динамические модели. Далее они отсортированы по классам;
• раздел "Задачи" содержит примеры задач для решения методом компьютерного эксперимента;
• в разделе "Учителю" предлагаются приемы вовлечения учеников в исследовательскую деятельность;
• в разделе "Проекты" будут размещаться продукты творческих проектов учеников, выполненных с помощью GeoGebra.

Блог будет развиваться и наполняться новым содержанием и материалами. 

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

  Евклид – выдающийся учёный античного мира, автор знаменитых «Начал», – книги, которая на тысячелетия стала  учебником, по которому изучали геометрию  многие поколения.

Рассмотрим одну из теорем книги VI «Начал» Евклида, которую можно считать обобщением теоремы Пифагора. Этой форме теоремы Пифагора отдавалось предпочтение перед другими, как такой, которая правильно выражала именно суть этой теоремы.

  Если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить какие-либо подобные фигуры, у которых катеты и гипотенуза данного треугольника являются соответствующими сторонами, то...

  Методом компьютерного эксперимента, перемещая вершины прямоугольного треугольника, установите закономерность. Закончите формулировку теоремы. А теперь, меняя значения ползунка n, исследуйте, будет ли теорема верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построить правильный пяти, шести и т.д. угольник.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

   Методом компьютерного эксперимента установите справедливость теоремы синусов, сформулируйте ее. Двигая вершины треугольника, проверьте справедливость теоремы для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника. Откройте флажок "Доказательство". Пользуясь подсказками, докажите теорему. Какие понятия, свойства, теоремы вы использовали при доказательстве? Как в теореме появляется радиус описанной окружности?

РАБОЧИЙ ЛИСТ 2. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Задание. Создайте интерактивный чертеж, с помощью которого можно убедиться, что в любом треугольнике (остроугольном, прямоугольном, тупоугольном) сумма углов равна 180º.

1		Создайте новый файл GeoGebra. “Файл»- «Создать»
2		С помощью инструмента «Многоугольник»  постройте треугольник АВС. Построение проводите  против часовой стрелки.
3		Выберите инструмент «Угол» и щелкните по точкам  А, В, С.
4		Выберите инструмент «Угол» и щелкните по точкам  В, А, С.
5		Выберите инструмент «Угол» и щелкните по точкам  А, С, В.
6		На панели объектов щелкните правой кнопкой мыши  по углу α. В появившемся окне отключите функцию «Показывать обозначение».
7		На панели объектов щелкните правой кнопкой мыши  по углу β. В появившемся окне отключите функцию «Показывать обозначение».
8		На панели объектов щелкните правой кнопкой мыши  по углу γ. В появившемся окне отключите функцию «Показывать обозначение».
9		С помощью инструмента «Текст» добавьте надпись. В поле «Правка» введите текст «∠А+∠В+∠С=». Символ «∠» вводится с помощью меню «Символы».
10		Не закрывая окно «Текст», в меню «Объекты» выберите угол α, введите символ «+».В меню «Объекты» выберите угол β, введите символ «+».В меню «Объекты» выберите угол γ, введите символ «=».В меню «Объекты» выберите « Пустая рамка». В пустую рамку введите α+β+γ.Нажмите на кнопку «ок».
11		Измените  размер шрифта надписи на большой.
12		Выполните «Настройки»-«Округление»-«0 разрядов».
13		С помощью инструмента «Переместить» измените положение вершин треугольника. При этом значения углов в надписи будет меняться, а сумма будет оставаться равной 180º.
14		Сохраните файл «Сохранить как»

Результат выполнения задания

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА

Посмотрите процесс построения правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки (нажмите кнопку "пауза"). Сформулируйте алгоритм построения.

ЗНАКОМСТВО С GEOGEBRA

Чтобы установить GeoGebra, загрузите ее последнюю версию с сайта https://www.geogebra.org/

   После запуска, вы увидите окно главного меню программы.

   Панель инструментов представляет собой меню, в котором заголовками подменю являются иконки инструментов. Чтобы меню появилось, нажмите на  треугольник в нижнем правом углу иконки инструмента.

   Чертеж в GeoGebra можно сохранить в формате .ggb, можно экспортировать в формате изображения («Файл» - «Экспорт»- «Изображение»), а можно сохранить его как интерактивный чертеж («Файл»- «Экспорт»- «Интерактивный чертеж как веб-страница»).

ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ 

ОФИЦИАЛЬНЫЙ САЙТ ПРОГРАММЫ GEOGEBRA

ПОСОБИЕ ПО GEOGEBRA

КАНАЛ GEOGEBRA НА YOUTUBE

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ЧЕРЕЗ РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Примеры задач для решения методом компьютерного эксперимента 

1.Создайте динамический чертеж ромба, построенного по его диагоналям. Исследуйте, какими свойствами, кроме общих , должен обладать ромб, чтобы около него можно было описать окружность.

2. Создайте динамический чертеж ромба, построенного по стороне и углу. Исследуйте, какими свойствами , кроме общих, должен обладать ромб, чтобы около него можно было описать окружность.

3.Придумайте способ наглядной демонстрации средствами GeoGebra  справедливости утверждения «Сумма  смежных углов равна 180º». 

4.Создайте компьютерную визуализацию алгоритма построения правильного шестиугольника. 

ПРОЕКТ "СИММЕТРИЯ ЦВЕТОВ"

   В этом проекте ученики изучали виды симметрии,  в программе GeoGebra  рисовали цветы; исследовали, какие виды симметрии встречаются у цветов.
 Исследования показали, что  хотя осевая симметрия встречается среди цветов, но  большинству цветов свойственна поворотная симметрия.
   Поворотная симметрия  определяется количеством лепестков. Встречается  симметрия 2, 3, 4, 6, 8  порядков, наиболее часто  - 5 порядка и крайне редко -  7.
      В программе GeoGebra   с помощью геометрических фигур (отрезков, прямых, многоугольников, окружностей, эллипсов, дуг, секторов, сегментов) были созданы модели цветов, посчитаны и  показаны углы поворота для симметрии разных порядков.

САЙТ ПРОЕКТА

ТЕОРЕМА О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРАПЕЦИИ

    Используя компьютерную визуализацию, предложите способ доказательства теоремы о свойствах средней линии трапеции.

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО)

  Используя компьютерную визуализацию, докажите теорему о сумме углов треугольника. В чем состоит идея доказательства теоремы?

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

   Проведите контрольный эксперимент, подтверждающий справедливость утверждения  «Сумма углов в треугольнике равна 180º» для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ

   Через точку А, не лежащую на прямой а , проведены три прямые, пересекающие прямую а.   Проведите контрольный эксперимент, позволяющий выбрать из представленных ниже утверждений верное:

а)через точку А можно провести две прямые, перпендикулярные прямой а;

б) через А можно провести только одну прямую, перпендикулярную  а; 

в) ни одна из трех прямых не может  быть перпендикулярна  к прямой а; 

г) по крайней мере две из прямых не перпендикулярны  к прямой а. 
Точки E, C, F на рисунке можно перемещать. 

СВОЙСТВА ЦЕНТРАЛЬНЫХ И ВПИСАННЫХ УГЛОВ

СУММА ВЕКТОРОВ

 СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ

     Проверьте справедливость  свойства соответственных углов при параллельных прямых AB и  CE  и секущей DE .

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

  С помощью данной модели проверьте справедливость  формулы вычисления площади треугольника, как половины произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Здесь площадь треугольника считается двумя способами: по формуле и с помощью специального инструмента в GeoGebra.

ТЕОРЕМА О ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРДАХ ОКРУЖНОСТИ

   
 Посмотрите компьютерную визуализацию доказательства теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд. Сформулируйте основную идею доказательства. Запишите и обоснуйте шаги доказательства. Точки C,D,E,F можно перемещать.

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

    Этапы выполнения задания  методом компьютерного эксперимента.

I.  Определение  цели эксперимента.  На этом этапе ученик  формулирует,  что  дано по условию задачи,  что нужно получить, какова цель эксперимента. Например, цель эксперимента - построить параллелограмм с применением определения параллелограмма.

II. Планирование эксперимента, составление алгоритма построений, построение динамического чертежа. Результатом этого этапа будет алгоритм построения параллелограмма. Например,

1.Построить прямую АВ по двум точкам.               

2.Отметить точку С , не лежащую на прямой АВ.  

3.Провести через точку С прямую, параллельную прямой АВ.

4.Через точку В провести прямую, параллельную АС.    5.Построить четырехугольник с вершинами в точках пересечения всех прямых.

III. Ход эксперимента : демонстрация динамической модели, тестирование устойчивости свойств рисунка, защита представленной модели.

Пример выполненной работы представлен на рисунке.

ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

Рисунок лютика выполнен геометрическими фигурами в программе GeoGebra. Понаблюдайте, поворотную симметрию какого порядка  можно встретить у цветов?

СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ НА ОДНОЙ МОДЕЛИ

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

 Методом компьютерного эксперимента проверьте справедливость теоремы Пифагора. 

ВЫСОТА ДЕРЕВА

  Используя готовую динамическую модель, придумайте способ определения высоты дерева. Какие инструменты вам понадобятся для этого? Объясните, на какие геометрические понятия, определения вы опирались? 

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

 Данная  динамическая модель  иллюстрирует построение треугольника по трем сторонам. Меняйте значения сторон a, b, c, перемещая ползунки. Включите анимацию в левом нижнем углу.  Всегда ли можно построить треугольник по трем заданным отрезкам? От чего это зависит? Опишите свои наблюдения. 

ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

   Перемещайте точку Е по экрану. Для очистки экрана нажимайте на стрелочки в правом верхнем углу. Как  и чем можно объяснить название этого преобразования «поворотная симметрия пятого порядка»? Вы где-нибудь   встречали  поворотную симметрию?

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

Перемещайте левую точку по контуру цветка

РОМБ, ПОСТРОЕННЫЙ ПО ДИАГОНАЛЯМ

РОМБ, ПОСТРОЕННЫЙ ПО СТОРОНЕ И УГЛУ

Перемещайте ползунки а и α на рисунке.

СУММА СМЕЖНЫХ УГЛОВ (ДЕМОНСТРАЦИЯ)

  Перемещая ползунок α, убедитесь экспериментально в справедливости утверждения "Сумма  смежных углов равна 180º". Можно также включить демонстрацию в нижнем левом углу рисунка.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО)

  Пользуясь готовой динамической моделью (перемещайте точки А, В и С), сформулируйте идею доказательства и докажите формулу площади треугольника, как половины произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону. (Переместите ползунок α на рисунке).

ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

   Методом предварительного компьютерного эксперимента установлено, что в любом треугольнике  высоты или прямые, на которых они лежат, пересекаются в одной точке.Убедитесь в этом, передвигая точки А, В и С. Исследуйте положение их точки пересечения  для остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников. Сформулируйте гипотезы.

РАБОЧИЙ ЛИСТ 1. ПОСТРОЕНИЕ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

 Задача. Построить равнобедренный треугольник, пользуясь теоремой о равенстве медианы и высоты, проведенных к его основанию.

1.	Создайте новый файл GeoGebra – «Файл - Создать»
2.	С помощью инструмента «Отрезок»  постройте основание АВ равнобедренного треугольника.
3.	С помощью инструмента «Середина или центр»  найдите середину С основания АВ, щелкните по точкам А и В.
4.	Переименуйте точку С в точку М. Для этого щелкните правой кнопкой мыши  по точке С, выберите «Переименовать» и введите новое имя «М».
5.	Выберите инструмент «Перпендикулярная прямая» , щелкните по точке М и по отрезку АВ.
6.	С помощью инструмента «Точка на объекте»  выберите на перпендикулярной прямой точку С.
7.	Используя инструмент «Многоугольник» , соедините точки А, В, и С.
8.	Щелкните правой кнопкой мыши по прямой СМ, отмените режим «Показывать объект».
9.	Используя инструмент «Отрезок» , соедините точки С и М.
10.	Выберите инструмент «Угол»  и щелкните по точкам В, М, С.
11.	С помощью инструмента «Текст»  создайте надпись «Равнобедренный Δ АВС».                                     Результат построения